Укажите сколькими способами можно разложить 10 разных открыток в 10 подписанных конвертов

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Элементы комбинаторики.

  Министерство образования Нижегородской области
  ГБПОУ «Уренский индустриально – энергетический техникум»

• 

  2 слайд

  Вычислите:
  Правильный ответ:

• 

  3 слайд

  Вычислите:
  Правильный ответ:
  60

• 

  4 слайд

  Вычислите:
  2! =
  3! =
  5! =
  2
  6
  120
  При решении каких задач применяется факториал?

• 

• 

• 

  7 слайд

  Комбинаторика
  Комбинаторика – это раздел
  математики, в котором изучаются
  вопросы выбора или расположения
  элементов множества в соответствии
  с заданными правилами.

  «Комбинаторика» происходит от латинского
  слова «combina», что в переводе на русский
  означает – «сочетать», «соединять».

• 

  8 слайд

  ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
  Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход всемирно известным немецким учёным Г.В.Лейбницем, который в 1666 году опубликовал «Рассуждения о комбинаторном искусстве».
  В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались и другие выдающиеся математики. Так, Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов.
  Г.В.Лейбниц

• 

  9 слайд

  Комбинаторика занимается различного рода соединениями (перестановки, размещения, сочетания), которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества.

• 

  10 слайд

  Комбинаторные соединения
  Перестановки
  Перестановки без повторений
  Перестановки с повторениями
  Размещения
  Размещения без повторений
  Размещения с повторениями
  Сочетания
  Сочетания без повторений
  Сочетания с повторениями

• 

  11 слайд

  Перестановки – соединения, которые можно составить из n элементов, меняя всеми возможными способами их порядок.
  Формула:

• 

  12 слайд

  Перестановки с повторениями
  Всякое размещение с повторениями, в котором элемент а1 повторяется k1 раз, элемент a2 повторяется k2 раз и т.д. элемент an повторяется kn раз, где k1, k2, …, kn — данные числа, называется перестановкой с повторениями порядка
  n = k1 + k2 + … + kn, в которой данные элементы a1, a2, …, an повторяются соответственно k1, k2, .., kn раз.

• 

  13 слайд

  Размещения
  Размещением из n элементов по k
  ( ) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из n элементов.
  Два размещения из n элементов считаются различными, если они отличаются самими элементами или порядком их расположения.

• 

  14 слайд

  Размещения с повторениями
  Размещения с повторениями – соединения, содержащие n элементов, выбираемых из элементов m различных видов ( ) и отличающиеся одно от другого либо составом, либо порядком элементов.

• 

  15 слайд

  Сочетания
  Сочетания – соединения, содержащие по m предметов из n, различающихся друг от друга по крайней мере одним предметом.
  Сочетания – конечные множества, в которых порядок не имеет значения.

• 

  16 слайд

  Примеры решения
  задач

• 

  17 слайд

  Пример
  Сколькими способами могут 8 человек встать в очередь к театральной кассе?

  Ответ: P8 = 8!=40320

• 

  18 слайд

  Проверь себя
  1) Сколькими способами можно поставить рядом на полке четыре различные книги?
  РЕШЕНИЕ

• 

  19 слайд

  Проверь себя
  1) Сколькими способами можно поставить рядом на полке четыре различные книги?
  Ответ: 24 способа
  Решение.
  На первое место можно поставить одну из четырех книг, на вторую – любую из трех, на третье – любую из двух и на четвертое – последнюю оставшуюся книгу. Применяя последовательно правило произведения, получим Р(4) = 4х3х2х1=24.

• 

  20 слайд

  Проверь себя
  2) Сколькими способами можно положить 10 различных открыток в 10 имеющихся конвертов (по одной открытке в конверт)?
  РЕШЕНИЕ

• 

  21 слайд

  Проверь себя
  2) Сколькими способами можно положить 10 различных открыток в 10 имеющихся конвертов (по одной открытке в конверт)?
  Ответ: 3628800 способа
  Решение.
  По формуле перестановки находим:
  Р(10)= 10! =1х2х3х…х9х10=3628800

• 

  22 слайд

  Проверь себя
  3) Сколькими способами можно рассадить восьмерых детей на восьми стульях в столовой детского сада?
  РЕШЕНИЕ

• 

  23 слайд

  Проверь себя
  3) Сколькими способами можно рассадить восьмерых детей на восьми стульях в столовой детского сада?
  Ответ: 40320 способа
  Решение.
  По формуле перестановки находим:

  Р(8)= 8! =1х2х3х…х7х8=40320

• 

  24 слайд

  Проверь себя
  4) Сколько различных слов можно составить, переставляя местами буквы в слове «треугольник» (считая и само это слово)?
  РЕШЕНИЕ

• 

  25 слайд

  Проверь себя
  4) Сколько различных слов можно составить, переставляя местами буквы в слове «треугольник» (считая и само это слово)?
  Ответ: 39916800 слов.
  Решение.
  По формуле перестановки находим:

  Р(11)= 11! = 1х2х3х…х10х11= 39916800

• 

  26 слайд

  Проверь себя
  5) Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день среди семи учащихся группы в течение 7 дней (каждый должен отдежурить один раз)?
  РЕШЕНИЕ

• 

  27 слайд

  Проверь себя
  5) Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день среди семи учащихся группы в течение 7 дней (каждый должен отдежурить один раз)?
  Ответ: 5040 способа.
  Решение.
  По формуле перестановки находим:

  Р(7)= 7! = 1х2х3х…х6х7= 5040

• 

  28 слайд

  Пример
  Слова и фразы с переставленными буквами называют анаграммами.
  Сколько анаграмм можно составить из слова «макака»?
  Решение.

  Всего в слове «МАКАКА» 6 букв (m=6).
  Определим сколько раз в слове используется каждая буква:
  «М» — 1 раз (k1=1)
  «А» — 3 раза (k2=3)
  «К» — 2 раза (k3=2)
  Р =
  m!
  k1! k2! …kn!
  Р1,3,2 =
  6!
  1! 3! 2!
  =
  4*5*6
  2
  =
  60.

• 

  29 слайд

  Проверь себя
  1) Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова «математика» ?
  РЕШЕНИЕ
  РЕШЕНИЕ

• 

  30 слайд

  Проверь себя
  1) Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова «математика» ?
  Решение.
  Всего в слове «МАТЕМАТИКА» 10 букв (m=10).
  Определим, сколько раз в слове используется каждая буква: «М» — 2; «А» — 3; «Т» — 2; «Е» — 1; «И» — 1; «К» -1. (k1, k2, … , kn)
  Р2,3,2,1,1,1 =
  10!
  2! 3! 2! 1! 1! 1!
  =
  151200.
  4*5*6*7*8*9*10
  2*2
  =

• 

  31 слайд

  Проверь себя
  2) Сколькими способами можно расставить на первой горизонтали шахматной доски комплект белых фигур (король, ферзь, две ладьи, два слона и два коня)?
  РЕШЕНИЕ

• 

  32 слайд

  Проверь себя
  2) Сколькими способами можно расставить на первой горизонтали шахматной доски комплект белых фигур (король, ферзь, две ладьи, два слона и два коня)?
  Решение.
  Комплект белых шахматных фигур состоит из 8 фигур:
  1 король, 1 ферзь, 2 ладьи, 2 слона и 2 коня
  (m=8; k1, k2, … , kn)
  Р2,3,2,1,1,1 =
  8!
  1! 1! 2! 2! 2!
  =
  5040.
  3*4*5*6*7*8
  2*2
  =

• 

  33 слайд

  Проверь себя
  3) У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов. Сколькими способами это может быть сделано?
  РЕШЕНИЕ

• 

  34 слайд

  Проверь себя
  3) У мамы два яблока, три груши и четыре апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов. Сколькими способами это может быть сделано?
  Решение.
  У мамы всего 9 фруктов: два яблока, три груши и четыре апельсина. (k1, k2, … , kn)
  Р2,3,4 =
  9!
  2! 3! 4!
  =
  1260.
  5*6*7*8*9
  2*2*3
  =

• 

  35 слайд

  Историческая справка

  Комбинаторные мотивы можно заметить еще в символике китайской «Книги перемен» (V век до н. э.).
  В XII в. индийский математик Бхаскара в своём основном труде «Лилавати» подробно исследовал задачи с перестановками и сочетаниями, включая перестановки с повторениями.

• 

  36 слайд

  Пример
  Сколькими способами из 40 учеников класса можно выделить актив в следующем составе: староста, физорг и редактор стенгазеты?
  Решение:
  Требуется выделить упорядоченные трехэлементные подмножества множества, содержащего 40 элементов, т.е. найти число размещений без повторений из 40 элементов по 3.

  A = =38*39*40=59280
  40!
  37!
  40
  3

• 

  37 слайд

  Проверь себя
  1. Из семи различных книг выбирают четыре. Сколькими способами это можно сделать?
  РЕШЕНИЕ

• 

  38 слайд

  Проверь себя
  Из семи различных книг выбирают четыре. Сколькими способами это можно сделать?

  Решение.
  А = =840
  4
  7
  7!
  3!

• 

  39 слайд

  Проверь себя
  2. В чемпионате по футболу участвуют десять команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места?

  РЕШЕНИЕ

• 

  40 слайд

  Проверь себя
  2. В чемпионате по футболу участвуют десять команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места?
  Решение.

  А = =720
  7!
  3
  10
  10!

• 

  41 слайд

  Проверь себя
  3. В классе изучаются 7 предметов. В среду 4 урока, причем все разные. Сколькими способами можно составить расписание на среду?

  РЕШЕНИЕ

• 

  42 слайд

  Проверь себя
  В классе изучаются 7 предметов. В среду 4 урока, причем все разные. Сколькими способами можно составить расписание на среду?
  Решение.

  А = =840
  4
  7
  7!
  3!

• 

  43 слайд

  Пример использования
  В библиотеку, в которой есть много одинаковых учебников по десяти предметам, пришло 5 школьников, каждый из которых хочет взять учебник. Библиотекарь записывает в журнал по порядку названия (без номера) взятых учебников без имен учеников, которые их взяли. Сколько разных списков в журнале могло появиться?

• 

  44 слайд

  Решение задачи
  Так как учебники по каждому предмету одинаковые, и библиотекарь записывает лишь название (без номера),то список – размещение с повторением, число элементов исходного множества равно 10, а количество позиций – 5.
  Тогда количество разных списков равно
  = 100000.
  Ответ: 100000

• 

  45 слайд

  Проверь себя!
  1. Телефонный номер состоит из 7 цифр. Какое наибольшее число звонков неудачник-Петя может совершить прежде, чем угадает правильный номер.

  РЕШЕНИЕ
  РЕШЕНИЕ
  РЕШЕНИЕ

• 

  46 слайд

  Проверь себя!
  1. Телефонный номер состоит из 7 цифр. Какое наибольшее число звонков неудачник-Петя может совершить прежде, чем угадает правильный номер.
  Решение.
  Т.к. цифры могут повторяться, то всего возможно
  разных номеров.
  Если Петя невезучий, он должен будет звонить 10 миллионов раз.
  Ответ: 10000000.

• 

  47 слайд

  Проверь себя!
  2. Сколькими способами можно написать слово, составленное из четырех букв английского алфавита?
  РЕШЕНИЕ
  РЕШЕНИЕ

• 

  48 слайд

  Проверь себя!
  2. Сколькими способами можно написать слово, составленное из четырех букв английского алфавита?
  Решение.
  В английском алфавите 26 букв, буквы могут повторяться, значит, количество слов равно
  (26 элементов и 4 позиции)
  Ответ:

• 

  49 слайд

  Проверь себя!
  3. В магазине, где есть 4 вида мячей, решили поставить в ряд 8 мячей. Сколькими способами можно это сделать, если их расположение имеет значение?

  РЕШЕНИЕ

• 

  50 слайд

  Проверь себя!
  3. В магазине, где есть 4 вида мячей, решили поставить в ряд 8 мячей. Сколькими способами можно это сделать, если их расположение имеет значение?
  Решение.
  Разных видов мячей 4, позиций 8, т.е. количество различных размещений будет равно = 65536.
  Ответ: 65536 способов.

• 

  51 слайд

  В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора?
  Задача 5

• 

  52 слайд

  Ответ: 8 способов.
  Переберем все возможные варианты
  І способ

• 

  53 слайд

  Воспользуемся правилом умножения
  Для каждой лампочки возможны два исхода, а лампочек три, значит:

  Ответ:8.
  ІІ способ

• 

  54 слайд

  Выберите правило
  №1. Из города А а город В ведут 5 дорог, а из города В в город С – 3 дороги. Сколькими способами можно проехать из города А в город С?

  №2. На книжной полке стоят 3 книги по алгебре, 4 по геометрии и 5 по литературе. Сколькими способами можно взять с полки одну книгу по математике?

  №3. В меню имеется 4 первых блюда, 3 – вторых, 2 – десерта. Сколько различных обедов можно из них составить?

• 

• 

  56 слайд

  Домашнее задание

• 

  57 слайд

  Используемая литература
  Алгебра и начала математического анализа.11 класс/ Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин. – М.:Просвещение, 2011.
  Виленкин Н.Я. Комбинаторика. – М., 1969
  Виленкин Н.Я. Комбинаторика. – МЦМНО, 2010
  ru.wikipedia.org›wiki/История комбинаторики

Краткое описание документа:

В презентации представлен материал на отработку основных умений, навыков решения комбинаторных задач, где требуется определить вид комбинации, правильно применить формулу при решении задачи. Учитель знакомит учащихся с понятием «комбинаторика» и с правилами комбинаторики, формирует у учащихся умение решать комбинаторные задачи.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 690 851 материал в базе

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

• Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация и предоставление туристских услуг»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация менеджмента в туризме»

• Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

• Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

• Курс профессиональной переподготовки «Деятельность по хранению музейных предметов и музейных коллекций в музеях всех видов»

• Курс повышения квалификации «Финансовые инструменты»

• Курс профессиональной переподготовки «Технический контроль и техническая подготовка сварочного процесса»

• Курс профессиональной переподготовки «Гражданско-правовые дисциплины: теория и методика преподавания в образовательной организации»